为什么说古希腊数学家创立的穷竭法是微积分的雏形？

Question

如题所述

Answer 1

事实上微积分的定义是经历过很多阶段的。但根欧柯西关系不大，主要是牛顿和莱布尼兹的贡献。
16世纪以前，数学研究的对象基本上是常量和不变的图形，如算术、代数主要研究数量关系，几何侧重于研究图形，大抵相当于现在中学数学课本的内容，通称常量数学时期。到了16世纪，对运动的研究变成了自然科学的中心问题。从17世纪开始，进入了所谓变量数学时期，它以微积分的出现和发展为标志。变量数学的第一个决定性步骤是1637年笛卡儿的坐标法——解析几何思想。首先，对于一个二元代数方程如 ，以往在代数中把 x 和 y 看作变量，认为该方程本身表示x与y之间的一种依赖关系，即 是一个线性函数。其次，笛卡儿在平面上引入了直角坐标系，建立了点和数偶、图形与方程之间的联系。这样，数和形就结合起来了，从此，有利于用代数的方法去解决几何问题。
变量数学的第二个决定性步骤是微积分的创立。诚然，微积分作为一门学科，它的一些概念（如极限）萌芽于15世纪以前的古代，比如我国三国时的数学家刘徽（公元前3世纪）曾使用割圆术求圆的面积，古希腊阿基米德曾用穷竭法求抛物线弓形的面积，就是很好的例子。微积分和解析几何不同，它的对象是函数本身的性质，而解析几何的对象是几何图形。可以说微积分起源于力学的新问题和几何的老问题，它是在已形成的力学材料的基础上，在从几何和代数中引出的方法和问题的基础上建立起来的。具体说来，就是17世纪，由于天文、航海及生产技术的发展，大量的科学技术和生产实践问题需要解决。这些问题大体上可以归纳为四大类：①已知物体移动的距离是时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反过来已知加速度是时间的函数，求速度与距离；②求曲线的切线；③求函数的最大值、最小值；④求曲线的长、曲线的面积、曲面围成的体积以及两个物体之间的引力等等。当时，许多数学家都为解决这些问题而努力探索，其中有关微分学方面的问题解决得比较好，积分学中的一些问题也得到过一些好的结果。但是由于他们使用的方法多半不具有普遍性，或者即使有的方法蕴含着普遍性，但由于尚未有人能充分理解微分与积分这两类问题之间的相互联系的意义，因而未能创立微积分。直到17世纪后半期，英国的牛顿与德国的莱布尼兹，在前人工作的基础上，各自独立地建立了微分运算和积分运算。并且建立了二者之间的内在联系，才奠定了微积分这门学科的基础。
但简洁说来，之前牛顿和莱布尼兹就是在无穷小的定义上出了毛病，柯西不满意的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。