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正定矩阵必为实对称矩阵
n阶
实对称矩阵
A为
正定矩阵
的充要条件为什么是A逆为正定矩阵,请大家指 ...
答:
[A^(-1)]^T=[A^T]^(-1)=A^(-1)所以A的逆矩阵也是实对称阵。接下来正式开始证明:可以从特征值的角度来看。必要性:如果n阶
实对称矩阵
A为
正定矩阵
,那么A的正惯性指数为n,即A的所有特征值x1,x2,...,xn都大于0。由于A的特征值没有0,所以A可逆,且A的逆的特征值为1/x1,1/x2,....
a
正定
可以推出哪些
答:
广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M为
正定矩阵
。例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)狭义定义:一个n阶的
实对称矩阵
M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有...
为什么
对称矩阵为正定矩阵
的充要条件是所有的特征值都大于0啊?_百度...
答:
实对称矩阵
正交相似于对角矩阵 即与对角矩阵合同 而对角矩阵的主对角线上的元素即A的特征值 所以对称矩阵A
正定
A的特征值都大于0
两个
正定实对称矩阵
的积
是
对称矩阵吗?
答:
四大特性:1.
实对称矩阵
A的不同特征值对应的特征向量是正交的。2.实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都
是实
向量。3.n阶实对称矩阵A必可对角化,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0 E-A)=n-k,其中E为单位...
设A、B均为N阶
实对称正定矩阵
,证明:如果A—B正定,则B的逆阵减去A的逆...
答:
由A,B正定得A逆,B逆正定,则有βA逆β'>0,βB逆β'>0 所以(βA逆β')(αAα')(βB逆β')>(βA逆β')(αBα')(βB逆β')由αβ'=I与βα'=I带入化简得,βB逆β'>βA逆β'则β(B逆-A逆)β'>0 再由α的任意性知β也是任意的,故得B逆-A逆
是正定
的。
实对称矩阵
的充要条件
是
它的特征值都是正数?
答:
实对称矩阵一定
可以对角化,其特征值可正,可负,可为零.一个矩阵的特征值都是正数的充要条件是它为
正定矩阵
.
设
实对称矩阵
A为m阶
正定矩阵
,B为m×n
实矩阵
,试证BTAB为正定矩阵的充分必...
答:
BTAB)X>0,即(BX)TA(BX)>0于是BX≠0,则BX=0只有零解,所以B的列向量组线性无关,r(B)=n.充分性:∵(BTAB)T=BTATB=BTAB,所以BTAB为
对称矩阵
.当r(B)=n时,BX=0只有零解.即对任意X≠0,BX≠0,由A
是
正定的,得XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)>0,故BTAB为
正定矩阵
.
M
矩阵正定
吗
答:
广义定义 设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有 z'Mz > 0,其中z' 表示z的转置,就称M
正定矩阵
。[1]例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。aE+B在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)狭义定义 一个n阶的
实对称矩阵
M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都...
A,B均是N阶是
对称矩阵
,且
正定
,那么AB
一定是
什么类型的矩阵?
答:
正定的。因为A,B都是
正定矩阵
,故必存在可逆矩阵P,Q使得A=P‘P,B=Q’Q于是有AB=P‘PQ’Q=P‘PQ’QP‘(E/P’)=(E/P)(PQ'QP')(E/P'),故AB相似于PQ'QP',而矩阵PQ'QP'=(QP')'QP',所以PQ‘QP’是正定
实对称矩阵
,故其特征值为正,所以AB的特征值也为正,所以AB是正定矩阵。(...
a
为实对称矩阵
证明必有实对称矩阵b 使a+b为
正定
阵
答:
A的 特征值 为a1,...,an,取a,使得a+ai>0,i=1,...,n,则B=aE,A+B的特征值a+ai均大于0,
是
正定
阵 。
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