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二次型半正定
半正定二次型
的充要条件:二次型的矩阵A=C′C
答:
有 X'AX = X'(C'C)X = (CX)'(CX) >= 0. (非负性)所以
二次型
是
半正定
的.必要性. 由二次型是半正定的, 其标准形为 x1^2+x2^2+...+xr^2.即对应有正交矩阵P满足 P^(-1)AP = diag(1,1,...,1,0,...,0).所以 A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)由P...
怎样判断
二次型
的
正定
性或者负定性?
答:
1. 特征值法:首先计算
二次型
的特征值,然后判断这些特征值是否满足条件。如果所有特征值都大于等于0,则二次型为
半正定
;如果所有特征值都小于等于0,则二次型为半负定。2. 矩阵法:将二次型的系数矩阵A分解为A = PTQ的形式,其中P和Q都是正交矩阵,T是对角矩阵。然后计算对角矩阵T的元素之和...
n元实
二次型
XAX是
半正定
的充分必要条件为它的标准形中n个系数全非负...
答:
【答案】:必要性 因为n元实
二次型
X'AX是
半正定
的则由上题的结论可知二次型X'AX的正惯性指数p等于它的秩为r.又因为它的标准形中为0的系数个数为n一r.则系数为非负数的个数为p+n一r=p+n一p=n.充分性设系数为正的个数为p系数为零的个数为q则p+q=n由此可知正惯性指数p=n一q又因...
n元实
二次型
XAX是
半正定
的充分必要条件为它的标准形中n个系数全非负...
答:
【答案】:1. 必要性:如果n元实
二次型
X'AX是
半正定
的,那么根据之前的结论,这个二次型的正惯性指数p等于它的秩r。由于标准形中为0的系数个数为n-r,因此系数为非负数的个数必须至少为n,即p+(n-r)=n。2. 充分性:假设系数为正的个数为p,系数为零的个数为q,则p+q=n。正惯性指数...
半正定二次型
的问题
答:
AX1 = 0.故X1是AX=0的解向量.同理X2是AX=0的解向量.所以AX=0 有2个线性无关的解向量X1,X2 所以 3-r(A)>=2, 即 r(A)<=1 显然A非零, 所以 r(A)>=1 故 r(A)=1.再由 tr(A)=1+1+1=3 知 A的特征值为3,0,0 所以此
二次型
经正交变换所得的标准形为 3y1^2.
二次型半正定
的等价条件和线性代数中的哪些概念相关?
答:
二次型半正定
的等价条件与线性代数中的一些重要概念密切相关,包括矩阵的特征值、特征向量、行列式、迹、正定性、合同矩阵等。首先,二次型是一个形如f(x) = x^T Ax的函数,其中A是一个实对称矩阵。二次型的半正定性是指对于任意非零实向量x,都有f(x)^T x > 0。这个性质可以通过分析矩阵A...
二次型半正定
和正定的判别方法有哪些?
答:
半正定二次型
是指对于任意非零实向量x,都有x'Ax >= 0,其中A是二次型的矩阵。半正定二次型具有以下性质:1. 所有主子式都大于等于0;2. 所有顺序主子式都大于等于0;3. 存在至少一个特征值大于0。判别二次型是否为正定或半正定的方法有以下几种:1. 通过计算矩阵的特征值来判断。如果所有...
如何辨别正定和
半正定
和负定。
答:
如何辨别正定和
半正定
和负定:一.定义 因为正定
二次型
与
正定矩阵
有密切的联系,所以在定义正定矩阵之前,让我们先定义正定二次型:设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0(0),则称f(x)为正定(半正定)二次型。相应的,正定(半正定)矩阵和负定(半负定)矩阵的定义为:令A为 阶对称矩阵...
试证实
二次型
是
半正定
的充分必要条件是f的正惯性指数等于它的秩_百度知...
答:
半正定
阵的特征值都大于等于0,非零特征值个数是秩,因此正特征值个数(就是正惯性指数)是秩。反之,正惯性指数是秩,说明没有负特征值,特征值都大于等于0,因此半正定。
证明
半正定二次型
答:
用分块矩阵很容易说明上述结论, 采用可逆坐标变换,把A化为分块对角矩阵,根据行列式为零可以知道右下角元素为0,故是
半正定
的。 即对A作合同变换即可说明问题。
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