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为什么特征值能直接代替矩阵
为什么特征值
是线性代数中一个重要的概念?
答:
特征值的重要性在于它能够告诉矩阵的变换性质
。比如,如果一个矩阵的特征值都是正数,那么它表示的变换将会把所有向量都拉伸;如果特征值都是零,那么表示的变换将会把所有向量都压缩到一个点。而如果特征值有正有负,那么表示的变换将会有拉伸和压缩的效果。特征值的作用:特征值还可以帮助找到矩阵的特...
为什么
说
矩阵
的
特征值
就是矩阵的本身?
答:
三阶
矩阵
有三个不同的
特征值
说明这个矩阵有两个相同的特征值,且矩阵不能对角化,即不存在可逆矩阵p,使p^-1ap为对角矩阵。证明:由已知,Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,Aα3=λ3α3 所以Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 A^2β=A(Aβ)=λ1Aα1+λ2Aα2+λ3A...
矩阵
的
特征值
与矩阵的相似有
什么
关系?
答:
设 A 是n阶方阵,如果存在数m和非零n维列向量 x,使得 Ax=mx 成立,则称 m 是A的一个
特征值
(characteristic value)或
本征值
(eigenvalue)。非零n维列向量x称为
矩阵
A的属于(对应于)特征值m的特征向量或本征向量,简称A的特征向量或A的本征向量。
为什么矩阵可以
用
特征值
来求逆矩阵
答:
这是由特征向量的定义决定的。以三阶
矩阵
为例:设A为三阶矩阵,它的三个
特征值
为m1,m2,m3,其对应的线性无关的特征向量为a1,a2,a3,则Aai=miai(i=1,2,3),所以A(a1,a2,a3)=(m1a1,m2a2,m3a3)=(a1,a2,a3)diag{m1,m2,m3} 令P=(a1,a2,a3),B=diag{m1,m2...
为什么
求出C的
特征值就能
知道
矩阵
的规范性
答:
因为在矩阵的规范型中 系数1的个数即正特征值的个数 (或二次型正惯性指数)同理规范型中系数-1的个数等于负特征值的个数
(或二次型负惯性指数)那么知道了C的特征值 当然就得到其特征值的正负性质 所以知道了矩阵的规范性
数学,
为什么
A的
特征值能直接
写出来
答:
因为A是上三角
矩阵
, 下面都是0 ,对角线上的数就是矩阵的
特征值
为什么
说
矩阵
一定有重
特征值
和重特征向量呢?
答:
特征向量所在直线上的向量都是特征向量。
特征值
和特征向量表达了一个线性变换的特征。在物理意义上,一个高维空间的线性变换
可以
想象是在对一个向量在各个方向上进行了不同程度的变换,而特征向量之间是线性无关的,它们对应了最主要的变换方向,同时特征值表达了相应的变换程度。
矩阵
的
特征值为什么
等于它的特征向量?
答:
因为
矩阵可以
化成对角元素都是其
特征值
的对角矩阵,而行列式的值不变,对角矩阵的行列式就是对角元素相乘。对n采用数学归纳法证明。显然,因为1×1矩阵是对称的,该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的,对(k+1)×(k+1)矩阵A,将det(A)按照A的第一行展开。
为什么特征值
之和会等于
矩阵
的迹?
答:
原因如下:简而言之,因为相似矩阵的对角线元素的和相等,以特征值为对角线元素的矩阵与原矩阵相似,所以
矩阵特征值
的和等于矩阵的迹 。简介:在线性代数中,一个n×n矩阵A的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和被称为矩阵A的迹(或迹数),一般记作tr(A)。将一个矩阵分解为...
线性代数:
为什么
这题
可以
这么解?
直接
用
特征值
代入?
答:
9题虽然答案是对的,但作法是错的。应该是A^2-3A+2E有一个
特征值
为2^2-3*2+2=0,所以其行列式为0 10题,先求出B的所有特征值,则B的行列式就是所有特征值的乘积。
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